ベルヌーイの定理 ー 流体のエネルギー保存の法則

ベルヌーイの定理とは

ベルヌーイの定理(Bernoulli’s theorem)とは、流体内のエネルギーの和が流線上で常に一定であるという定理です。

流体のエネルギーには運動・位置・圧力・内部エネルギーの4つあり、非圧縮性流体であれば内部エネルギーは無視できます。

ベルヌーイの定理では、定常流・摩擦のない非粘性流体を前提としています。

位置エネルギーの変化を無視できる流れを考えると、運動エネルギーと圧力のエネルギーの和が一定になります。

すなわち「流れの圧力が上がれば速度は低下し、圧力が下がれば速度は上昇する」という流れの基本的な性質をベルヌーイの定理は表しています。

 翼上面の流れの加速の詳細

ベルヌーイの定理には、圧縮性流体と非圧縮性流体の2つの公式があります。

圧縮性流体のベルヌーイの定理

\( \displaystyle \underset{\text{運動}} { \underline{ \frac{v^2}{2} }} + \underset{\text{位置}} { \underline{  g h }} + \underset{\text{圧力+内部}} { \underline{ \frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{p}{\rho} }} = const.  \tag{1} \)

内部エネルギーは圧力エネルギーとして第3項にまとめて表されています。

非圧縮性流体のベルヌーイの定理

\( \displaystyle \underset{\text{運動}} { \underline{ \frac{v^2}{2} }} + \underset{\text{位置}} { \underline{  g h }} + \underset{\text{圧力}} { \underline{ \frac{p}{\rho} }} = const.  \tag{2} \)

(1)式の内部エネルギーを省略した式になっています。
\(\rho\) 流体の密度 [kg/m3]
\(v\) 流体の速度 [m/s]
\(g\) 重力加速度 [m/s2]
\(h\) 流体の高さ [m]
\(p\) 流体の圧力 [kg/m2]
\(\gamma\) 比熱比

(参考:航空力学の基礎(第2版), P.33 (2.46),(2.52)式)

圧縮性流体のベルヌーイの定理の導出

断面1と2を通過する圧縮性流体のエネルギーを計算します。流れは時間変化のない定常流、流体は摩擦のない非粘性流体とします。

断面1と2を通過する流体の各エネルギーは、流体の質量を \(m\) [kg]とすると以下の通りです。

断面1(流入) 断面2(流出)
運動エネルギー \(\displaystyle \frac{1}{2} m {v_1}^2\) \(\displaystyle \frac{1}{2} m {v_2}^2\)
位置エネルギー \(m g h_1\) \(m g h_2\)
内部エネルギー \( \displaystyle \frac {m}{\gamma – 1} \frac {p_1}{\rho_1} \) \( \displaystyle  \frac {m}{\gamma – 1} \frac {p_2}{\rho_2} \)
圧力エネルギー \(\displaystyle  m \frac {p_1}{\rho_1} \) \( \displaystyle m \frac {p_2}{\rho_2} \)

断面1と2を通過する流体はエネルギーの時間変化はなく流管の外部に仕事をしません。したがって、流体のエネルギーの和は断面1と2で等しいから

\(\displaystyle \underset{\text{運動}} { \underline{ \frac{1}{2} m {v_1}^2 }} + \underset{\text{位置}} { \underline{ m g h_1}}+ \underset{\text{内部}} { \underline{ \frac {m}{\gamma – 1} \frac {p_1}{\rho_1} }} + \underset{\text{圧力}} { \underline{ m \frac {p_1}{\rho_1}}} = \underset{\text{運動}} { \underline{ \frac{1}{2} m {v_2}^2}} + \underset{\text{位置}} { \underline{ m g h_2}} + \underset{\text{内部}} { \underline{ \frac {m}{\gamma – 1} \frac {p_2}{\rho_2}}} + \underset{\text{圧力}} { \underline{ m \frac {p_2}{\rho_2}}} = const. \tag{3} \)

上式を流体の質量 \(m\) で割り内部エネルギーと圧力エネルギーの項をまとめると、圧縮性流体のベルヌーイの定理が得られます。

\(\displaystyle \underset{\text{運動}} { \underline{ \frac{1}{2}  {v_1}^2}}  +  \underset{\text{位置}} { \underline{ g h_1}}+\underset{\text{内部+圧力}} { \underline{ \frac {\gamma}{\gamma – 1} \frac {p_1}{\rho_1}}} = \underset{\text{運動}} { \underline{ \frac{1}{2}  {v_2}^2}}  + \underset{\text{位置}} { \underline{ g h_2}} + \underset{\text{内部+圧力}} { \underline{ \frac {\gamma}{\gamma – 1} \frac {p_2}{\rho_2}}} = const. \tag{4} \)

(参考:航空力学の基礎(第2版), P.33 (2.51)式)

このようにベルヌーイの定理は流体におけるエネルギー保存の法則といえます。

内部エネルギーと圧力エネルギーの計算

内部エネルギーと圧力エネルギーはエンタルピーの式から計算します。

\(\displaystyle H=mh=m \left ( e+ \frac {p}{\rho} \right )  \tag{5} \)

\(H\) エンタルピー [J]
\(m\) 流体の質量 [kg]
\(h\) 比エンタルピー(単位質量あたりのエンタルピー) [J/kg]
\(e\) 比内部エネルギー(単位質量あたりの内部エネルギー) [J/kg]
\(p\) 流体の圧力 [Pa]
\(\rho\) 流体の密度 [kg/m3]

(参考:航空力学の基礎(第2版), P.21 (2.11)式)

内部エネルギーは、流体を完全気体として完全気体の内部エネルギーの式完全気体の状態方程式マイヤーの関係式比熱比の関係式から計算します。

  • 完全気体の比内部エネルギーの関係式(単位質量あたり)

\( e=C_v T \tag{6}\)

\(e\) 完全気体の比内部エネルギー [J/kg](単位質量あたりの内部エネルギー)
\(C_v\) 定積モル比熱 [J/(kg・K)]
\(T\) 完全気体の温度 [K]

(参考:航空力学の基礎(第2版), P.22 (2.14)式)

  • 完全気体の状態方程式

\( \displaystyle \frac{p}{\rho}=RT \tag{7}\)

\(p\) 完全気体の圧力 [Pa]
\(\rho\) 完全気体の密度 [kg/m3]
\(T\) 完全気体の温度 [K]
\(R\) 気体定数 [J/(kg・K)]

(参考:航空力学の基礎(第2版), P.18 (2.3a)式を変形)

  • マイヤーの関係式

\( C_p – C_v = R \tag{8}\)

\(C_p\) 定圧モル比熱 [J/(kg・K)]
\(C_v\) 定積モル比熱 [J/(kg・K)]
\(R\) 気体定数 [J/(kg・K)]

(参考:航空力学の基礎(第2版), P.21 (2.12)式)

  • 比熱比の関係式

\( \displaystyle \gamma = \frac{C_p}{C_v} \tag{9}\)

\(\gamma\) 比熱比 [−]
\(C_p\) 定圧モル比熱 [J/(kg・K)]
\(C_v\) 定積モル比熱 [J/(kg・K)]

(参考:航空力学の基礎(第2版), P.21 (2.13)式)

  • 最終的な比内部エネルギーの計算式

(6)式を(7)〜(9)式を用いて変形すると最終的な比内部エネルギーの計算式は

\( \displaystyle e=\frac {1}{\gamma – 1} \frac {p}{\rho} \tag{10} \)

(参考:航空力学の基礎(第2版), P.22 (2.14)式)

非圧縮性流体のベルヌーイの定理の導出

非圧縮性流体の場合、流体は圧縮されないので流体の内部エネルギーは変化しません。従って(3)式の内部エネルギーの項を省略できます。

\(\displaystyle \underset{\text{運動}} { \underline{ \frac{1}{2} m {v_1}^2 }} + \underset{\text{位置}} { \underline{ m g h_1}} + \underset{\text{圧力}} { \underline{ m \frac {p_1}{\rho_1}}} = \underset{\text{運動}} { \underline{ \frac{1}{2} m {v_2}^2}} + \underset{\text{位置}} { \underline{ m g h_2}} + \underset{\text{圧力}} { \underline{ m \frac {p_2}{\rho_2}}} = const. \tag{11} \)

上式を流体の質量 \(m\) で割ると非圧縮性流体のベルヌーイの定理が得られます。

\(\displaystyle \underset{\text{運動}} { \underline{ \frac{1}{2}  {v_1}^2}}  +  \underset{\text{位置}} { \underline{ g h_1}}+\underset{\text{圧力}} { \underline{ \frac {p_1}{\rho_1}}} = \underset{\text{運動}} { \underline{ \frac{1}{2}  {v_2}^2}}  + \underset{\text{位置}} { \underline{ g h_2}} + \underset{\text{圧力}} { \underline{  \frac {p_2}{\rho_2}}} = const. \tag{12} \)

(参考:航空力学の基礎(第2版), P.22 (2.44)式)

まとめ

  • ベルヌーイの定理とは、流体におけるエネルギー保存則。
  • 圧縮性流体では、流線上で運動・位置・内部・圧力エネルギーの和が一定。
  • 非圧縮性流体では、流線上で運動・位置・圧力エネルギーの和が一定。
参考資料
 次の記事

静圧と動圧 ー 流体の圧力と運動エネルギーの等価交換

2018.02.21

次の記事では、ベルヌーイの定理から得られる流体の静圧と動圧について解説します。

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ABOUTこの記事をかいた人

1985年9月生まれ。大阪出身。息子と娘の2児の父。
東北大学大学院工学研究科 航空宇宙工学専攻 修士課程修了。
学生時代は数値流体力学を用いた航空機の空力設計の研究に従事。
卒業後は航空機製造メーカーにて旅客機の設計を担当。